宝鸡老师整理全国卷—抽象函数有魅力探究通法更给力

＝－ ｘ３

３ ＋ ｘ（ｘ ＞ ０），ｈ′（ｘ） ＝－ ｘ２ ＋ １ ＝

－（ｘ＋１）（ｘ－１），当ｘ∈ （０，１）时，ｈ′（ｘ）＞０，ｈ（ｘ）在（０，１）上单调递增，当ｘ∈（１，＋∞）时，ｈ′（ｘ）＜０，

ｈ（ｘ）在（１，＋∞）上单调递减，∴ｘ＝１是ｈ（ｘ）的唯一极值点且是极大值点，因此ｘ＝１也是ｈ（ｘ）的最大值

点，所以ｈ（ｘ）的最大值为ｈ（１）＝ ２３，结合ｙ＝ｈ（ｘ）

的图象（如图５）可知：当ｍ＞ ２３时，函数ｇ（ｘ）无零

点；当ｍ＝ ２３或ｍ≤０时，函数ｇ（ｘ）有且只有一个

零点；当０＜ｍ＜ ２３时，函数ｇ（ｘ）有两个零点．

图５

　　新课标下的高考越来越注重对学生的综合能力的考

查，近几年的数学高考中频频出现零点问题，注重数学思想方法的考查，其形式逐渐多样化，题型有选择题、填空题和综合题，但都与基本初等函数、三角函数和导数知识密不可分．

抽象函数有魅力　探究通法更给力

李文明

（福建省福州华侨中学，３５０００４）

所谓抽象函数，是指没有给出明确的解析式，只给出函数某些特征或性质的函数，高考命题中抽象函数之所以经久不衰，常考常新，正是"题在课外，根在课内"的具体体现；抽象函数在高考命题中之所以独具魅力，倍受青睐，其主要原因是抽象函数往往是一类具体函数的本质特征的高度概括，考查有关函数的某些性质时，不受具体函数的制约，与具体函数相比较其抽象性更强，灵活性更大，思想性更深，挑战性更高，在教学过程中如何应对这种更高观点的函数问题，关键是要重视函数基础知识的学习，强基固本，减少"花拳绣腿"、"一招一式"，重视由浅入深，由表及里，循序渐进，重视通性通法的概括与提炼，以不变应万变．解决抽象函数问题最常用最给力的方法是以下５种方法或其中某些方法的综合．

一、定义法此法的关键是要准确把握函数的定义域、值域、

单调性、奇偶性、周期性、反函数等概念的定义，并能恰当自觉应用．

例１　（２０１３年 高 考 大 纲 版 理 科４）已 知 函 数ｆ（ｘ）的定义域为（－１，０），则函数ｆ（２ｘ＋１）的定义域为 （　　）

（Ａ）（－１，１）．　　　　　（Ｂ）（－１，－１２）．

（Ｃ）（－１，０）． （Ｄ）（１２，１）．

解析　定义域是指函数解析表达式中自变量ｘ的取值范围，由此可得－１＜２ｘ＋１＜０－１＜ｘ

＜－１２，故选（Ｂ），题目虽然简单，但是概念性很强．

例２　（广东理科４）设函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （　　）

（Ａ）ｆ（ｘ）＋ ｇ（ｘ）是偶函数．（Ｂ）ｆ（ｘ）－ ｇ（ｘ）是奇函数．（Ｃ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）是奇函数．（Ｄ）ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）是奇函数．例３　（全国卷Ⅰ理３文５）设函数ｆ（ｘ），

ｇ（ｘ）的定义域都为Ｒ，且ｆ（ｘ）是奇函数，ｇ（ｘ）是偶函数，则下列结论正确的是 （　　）

（Ａ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）是偶函数．（Ｂ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）是奇函数．（Ｃ）ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）是偶函数．（Ｄ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）是奇函数．两道考题如出一辙，相关性不言而喻，都是考查

函数奇偶性的定义，

例 ２　 解 析ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（－ｘ）＝－ｇ（ｘ ｝）ｆ（－ ｘ）＋

ｇ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ ｇ（ｘ），所以选项（Ａ）是正确的．同理可解例３（略）．

８４ 数学通讯 ———２０１５年第４期（上半月）　　　　　　 　　　　　·复习参考·

例４　（湖南理１３）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）存在反函数ｙ＝ｆ－１（ｘ），且函数ｙ＝ｘ－ｆ（ｘ）图像过点（１，２），则函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）－ｘ图像一定过点

．例５　（上海理科）对区间Ｉ上有定义

的函数ｇ（ｘ），记ｇ（Ｉ）＝｛ｙ｜ｙ＝ｇ（ｘ），ｘ∈Ｉ｝，已知定义域为［０，３］的函数ｙ＝ｆ（ｘ）有反函数ｙ＝ｆ－１（ｘ），且ｆ－１（［０，１））＝ ［１，２），ｆ－１（（２，４］）＝［０，１），若 方 程ｆ（ｘ）－ｘ ＝０有 解 ｘ０，则 ｘ０＝ ．

例４、例５又是有不解之缘的 两 道"姊 妹 题"，根据反函数的定义，只有"一一对应"的函数才有反函数．

例５解析（例４略）　由ｆ－１（［０，１））＝［１，２），ｆ－１（（２，４］）＝［０，１）得ｆ（［１，２））＝［０，１），ｆ（［０，１））＝（２，４］，所以ｆ（［２，３］）∈（－∞，０）∪［１，２］

∪ （４，＋∞）ｘ０ ＝２．例６　（２００８年安徽理１１）若函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）

分别 是 Ｒ上 的 奇 函 数、偶 函 数，且 满 足ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝ｅｘ，则有 （　　）

（Ａ）ｆ（２）＜ｆ（３）＜ｇ（０）．（Ｂ）ｇ（０）＜ｆ（３）＜ｆ（２）．（Ｃ）ｆ（２）＜ｇ（０）＜ｆ（３）．（Ｄ）ｇ（０）＜ｆ（２）＜ｆ（３）．解析 　 根 据 函 数 奇 偶 性 定 义，由 已 知 得

ｆ（－ｘ）－ｇ（－ｘ）＝ｅ－ｘｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＝－ｅ－ｘ，所

以ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ｅ－ｘ２

，ｇ（ｘ）＝－ｅｘ＋ｅ－ｘ２ ｆ′

（ｘ）＝

ｅｘ＋ｅ－ｘ２ ＞０

，ｇ（０）＝－１，所以ｆ（ｘ）是Ｒ上的增函

数，所以ｇ（０）＜ｆ（２）＜ｆ（３），故选（Ｄ）．例７　（２０１４年 湖 南 理３）已 知 函 数ｆ（ｘ），

ｇ（ｘ）分别 是 定 义 在 Ｒ上 的 奇 函 数 和 偶 函 数，且ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝ｘ３＋ｘ２＋１，则ｆ（１）＋ｇ（１）＝

（　　 ）（Ａ）－３． （Ｂ）－１．（Ｃ）１． （Ｄ）３．解析 　ｆ（－１）－ｇ（－１）＝－（ｆ（１）＋ｇ（１））

＝ （－１）３＋（－１）２＋１ｆ（１）＋ｇ（１）＝－１，故答案为（Ｂ）．

例８　（广东理科１０）设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），ｈ（ｘ）是Ｒ上的任意实值函数，如下定义两个函数（ｆｇ）和（ｆｇ），对于任意的ｘ∈Ｒ，（ｆｇ）＝ｆ（ｇ（ｘ））；（ｆｇ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ），则 下 列 等 式 恒 成立的是 （　　）

（Ａ）（（ｆｇ）ｈ）（ｘ）＝（（ｆｈ）（ｇｈ））（ｘ）．（Ｂ）（（ｆｇ）ｈ）（ｘ）＝（（ｆｈ）（ｇｈ））（ｘ）．（Ｃ）（（ｆｇ）ｈ）（ｘ）＝（（ｆｈ）（ｇｈ））（ｘ）．

（Ｄ）（（ｆｇ）ｈ）（ｘ）＝（（ｆｈ）（ｇｈ））（ｘ）．这是一道"新定义"题，理解定义是关键，解析　对于选项（Ａ），左边＝（ｆ（ｇ（ｘ））ｈ（ｘ），右

边 ＝ （ｆ（ｘ）ｈ（ｘ）） （ｇ（ｘ）ｈ（ｘ））＝ ｆ（ｇ（ｘ）ｈ（ｘ））ｈ（ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）），左边 ≠ 右边，所以（Ａ）是错误的，对于选 项 （Ｂ），左 边 ＝ ｆ（ｈ（ｘ））ｇ（ｈ（ｘ）），右 边 ＝ｆ（ｈ（ｘ））ｇ（ｈ（ｘ）），左边＝右边，所以选项（Ｂ）是正确的，同理可证其它选项是错误的．

二、赋值法根据函 数 的 定 义 域 和 题 目 的 特 征，适 当 选 取

某些"特殊值"，使问题获得解决的方法就是"赋值法"，特值的选取是难点，需要有一定的前瞻性，要敢于尝试，不怕失败．

例９　（复旦大学自主招生）已知定义在 Ｒ 上 的 函 数 ｆ（ｘ）（ｘ ≠ １）满 足 ｆ（ｘ）＋

２ｆ（ｘ＋２００２ｘ－１） ＝ ４０１５ － ｘ， 则 ｆ（２００４）

＝ ．解 析 　（变 换 角 度 直 击 目 标）令 ｘ ＝

２００４ｆ（２００４）＋２ｆ（２）＝４０１５－２００４ ①令ｘ＝２ｆ（２）＋２ｆ（２００４）＝４０１５－２ ②②×２－① 整理得ｆ（２００４）＝２００５．例１０　（２００９年四川理科１２）已知函数ｆ（ｘ）

是定义在Ｒ上的不恒 为 零 的 偶 函 数，且 对 任 意 的实 数 ｘ 都 有ｘｆ（ｘ＋１）＝ （１＋ｘ）ｆ（ｘ），则

ｆ（ｆ（５２））的值是 （　　）

（Ａ）０． （Ｂ）１２．

（Ｃ）１． （Ｄ）５２．

解析 　 令ｘ＝０ｆ（０）＝０；

令ｘ＝－ １２ －１２ｆ（１２）＝ １２ｆ

（－ １２）＝

１２ｆ（１２）ｆ（１２

）＝０；

令ｘ＝１２１２ｆ（３２）＝３２ｆ

（１２）＝０ｆ（３２

）

＝０；

令ｘ＝３２３２ｆ（５２）＝５２ｆ

（３２）＝０ｆ（５２

）

＝０ｆ（ｆ（５２））＝ｆ（０）＝０．

例１１　（陕西理科１１）定义在Ｒ上的函 数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＋２ｘｙ（ｘ，ｙ∈Ｒ），ｆ（１）＝２，则ｆ（－３）等于 （　　 ）

（Ａ）２．　　（Ｂ）３．　　（Ｃ）６．　　（Ｄ）８．解析 　 令ｘ＝ｙ＝０ｆ（０）＝０；令ｘ＝－１，ｙ＝－２ｆ（－３）＝ｆ（－１）＋

９４·复习参考·　 　　　　　 　　　　　 数学通讯 ———第４期（上半月）

ｆ（－２）＋４；令ｘ＝－１，ｙ＝１ｆ（－１）＋ｆ（１）＝２，又

ｆ（１）＝２ｆ（－１）＝０；令ｘ＝ｙ＝－１ｆ（－２）＝２ｆ（－１）＋２

ｆ（－２）＝２，所以ｆ（－３）＝６，选（Ｃ）．三、构造法根据问题的 具 体"特 征"，恰 如 其 分 构 造 数 学

模型，从而使问题得到解决的方法称之为构造法，构造在一定意义 上 讲 有 一 定 的 创 造 性，需 要 有 扎实的基础知识底蕴，高屋建瓴，居高临下．

例１２　（２００７年陕西高考理科第１１题）ｆ（ｘ）是定义在（０，＋ ∞）上 的 非 负 可 导 函 数，且 满 足ｘｆ′（ｘ）＋ｆ（ｘ）≤０，对任意正数ａ，ｂ，若ａ＜ｂ，则必有 （　　）

（Ａ）ａｆ（ｂ）≤ｂｆ（ａ）． （Ｂ）ｂｆ（ａ）≤ａｆ（ｂ）．（Ｃ）ａｆ（ａ）≤ｂ． （Ｄ）ｂｆ（ｂ）≤ａ．解析 　 由函数积的导数公式"构造可导函数的

积"得，ｘ∈（０，＋∞），［ｘｆ（ｘ）］′≤０，所以函数ｘｆ（ｘ）在（０，＋∞）上不单调递增，因此ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上不单调递增，ａ＞０，ｂ＞０，ａ＜ｂｆ（ａ）≥ｆ（ｂ）≥０，所以ａｆ（ｂ）≤ｂｆ（ａ），故选（Ａ）．

例１３　（天津高考文科第１０题）设函数ｆ（ｘ）在 Ｒ 上 的 导 数 为ｆ′（ｘ），且２ｆ（ｘ）＋ｘｆ′（ｘ）＞ｘ２，则下面的不等式在Ｒ上恒成立的是

（　　）（Ａ）ｆ（ｘ）＞０． （Ｂ）ｆ（ｘ）＜０．（Ｃ）ｆ（ｘ）＞ｘ． （Ｄ）ｆ（ｘ）＜ｘ．解析 　 两年后的考题有了新的变化，导数公

式不是直接可见，而 是 更 加 隐 蔽，我 们 继 续"构 造可导函数的积"．

当ｘ＞０时，由已知得２ｘｆ（ｘ）＋ｘ２　ｆ′（ｘ）＞ｘ３

＞０［ｘ２　ｆ（ｘ）］′＞０，所以ｘ２　ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上单调递增 ｘ２　ｆ（ｘ）＞０ｆ（ｘ）＞０．

又 当ｘ＜０时，由已知得２ｘｆ（ｘ）＋ｘ２　ｆ′（ｘ）＜ｘ３＜０［ｘ２　ｆ（ｘ）］′＜０，所以ｘ２　ｆ（ｘ）在（－∞，０）上单调递减 ｘ２　ｆ（ｘ）＞０ｆ（ｘ）＞０，当ｘ＝０时，ｆ（０）＞０．

所以，选（Ａ）．例１４　（辽宁文理１１）函数ｆ（ｘ）的定

义域为Ｒ，ｆ（－１）＝２，对任意ｘ∈Ｒ，ｆ′（ｘ）＞２，则ｆ（ｘ）＞２ｘ＋４的解集为 （　　 ）

（Ａ）（－１，１）．　　　　　　 （Ｂ）（－１，＋∞）．（Ｃ）（－∞，－１）． （Ｄ）（－∞，＋∞）．解析 　"构 造 可 导 函 数 的 差"，由 已 知 得

［ｆ（ｘ）－（２ｘ＋４）］′＝ｆ′（ｘ）－２＞０，所以ｆ（ｘ）－（２ｘ＋４）在Ｒ上单调递增；又ｆ（－１）－［２×（－１）＋４］＝０，因此，当ｘ∈（－１，＋∞）时，ｆ（ｘ）－（２ｘ＋４）＞０，故选（Ｂ）．

例１５　（２００８重庆高考理）若定义在Ｒ上的函数ｆ（ｘ）满足：对任意ｘ１，ｘ２∈Ｒ，，有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋１，下列说法一定正确的是 （　　）

（Ａ）ｆ（ｘ）为奇函数．（Ｂ）ｆ（ｘ）为偶函数．（Ｃ）ｆ（ｘ）＋１为奇函数．（Ｄ）ｆ（ｘ）＋１为偶函数．解析　因为抽象函数是指满足题设条件的一

类函数，具有任意性，因此我们可以恰当构造特殊的"模特 函 数"，体 现 由 一 般 到 特 殊 的 数 学 思 想，"构造一次函数"———ｆ（ｘ）＝ｋｘ－１（ｋ≠０），（这个模特函 数 的 构 造 源 于 对 一 次 函 数 线 性 特 征 的 提

炼）则ｆ（ｘ）满足题设条件，所以ｆ（ｘ）＋１是奇函数，故选（Ｃ）．

例１６　（２０１０年重庆高考理）已知函数ｆ（ｘ）

满 足：ｆ（１）＝１４，４ｆ（ｘ）ｆ（ｙ）＝ｆ（ｘ＋ｙ）＋ｆ（ｘ－

ｙ）（ｘ，ｙ∈Ｒ），则ｆ（２０１０）＝ ．

解 析 　"构 造 余 弦 函 数"———ｆ（ｘ）＝ １２

ｃｏｓπ３ｘ（这个模特函数的构造源于对"和差化积公

式"透彻理解），容易验证ｆ（ｘ）满足题设条件，所以

ｆ（２０１０）＝ １２ｃｏｓ　３７０π＝１２．

例１７　（２０１４全 国 大 纲 卷（文１２））奇 函 数ｆ（ｘ）的定 义 域 为 Ｒ，若ｆ（ｘ＋２）为 偶 函 数，且ｆ（１）＝１，则ｆ（８）＋ｆ（９）＝ （　　）

（Ａ）－２．　　　　　　 （Ｂ）－１．（Ｃ）０． （Ｄ）１．解 析 　"构 造 正 弦 函 数"———ｆ（ｘ）＝ 槡２

ｓｉｎπ４ｘ（这个模特函数的构造源于对正弦、余弦函

数关系的把握），容易验证ｆ（ｘ）满足题设条件，所

以ｆ（８）＋ｆ（９）＝槡２（ｓｉｎ　２π＋ｓｉｎ９π４）＝槡２（０＋

槡２２）＝１，通过构造特殊函数我们发现了命题背后

所隐藏的"秘 密"，这 些 抽 象 函 数 可 能 就 是 由 具 体函数抽象所得．

四、递推法递推是 一 种 重 要 的 数 学 思 想 理 念，在 研 究 数

列问题时发挥了 不 可 替 代 的 作 用，在 研 究 抽 象 函数时要不断渗透 和 强 化，使 其 成 为 解 决 数 学 问 题时的一种自觉．

例１８　（武汉 大 学 自 主 招 生）已 知 函 数ｆ（ｘ）是定义在Ｒ 上 的 函 数，并 满 足ｆ（ｘ＋２）＝

－ １ｆ（ｘ），当２≤ｘ≤３时，ｆ（ｘ）＝ｘ，则ｆ（５．５）＝

０５ 数学通讯 ———第４期（上半月）　　　　　　 　　　　　·复习参考·

（　　）（Ａ）５．５．　　　 （Ｂ）－５．５．（Ｃ）－２．５． （Ｄ）２．５．例１９　（２００８年四川理１１文９）定义在Ｒ上的

函数ｆ（ｘ）满足：ｆ（ｘ）·ｆ（ｘ＋２）＝１３，ｆ（１）＝２，则ｆ（９９）＝ （　　）

（Ａ）１３． （Ｂ）２

（Ｃ）１３２．（Ｄ）２１３．

这也是 两 道 雷 同 试 题，解 析 例１９：由ｆ（ｘ）·ｆ（ｘ＋２）＝１３ｆ（ｘ＋２）ｆ（ｘ＋４）＝１３，所 以ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋４）ｆ（９９）＝ｆ（４×２４＋３）＝ｆ（３）

＝ １３ｆ（１）＝１３２．

对于前面的例１１我们还可以 用"递 推 法"解答：由ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＋２ｘｙ（ｘ，ｙ∈Ｒ），ｆ（１）＝２．

令ｙ＝１ｆ（ｘ＋１）＝ｆ（ｘ）＋２＋２ｘ，ｘ∈Ｒ．再令ｘ＝ｎｆ（ｎ＋１）－ｆ（ｎ）＝２（ｎ＋１），于是联想到递推数列，ｆ（２）－ｆ（１）＝２×２，ｆ（３）－ｆ（２）＝２×３，…，ｆ（ｎ）－ｆ（ｎ－１）＝２ｎ，叠加得ｆ（ｎ）＝２×１＋２×２＋２×３＋…＋２ｎ＝ｎ（ｎ＋１）＝ｎ２

＋ｎ，所以ｆ（－３）＝６，故选（Ｃ）．利用"递推思想"我们不但 解 决 了 问 题 本 身，

还发现了问题的"背景"，找 到 了"模 特 函 数"ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｘ，为构造法提供了可能．

图１

五、图像法"图像法"是解决函数

问题的"利 器"，关 键 是 学会识图用图，看图说话，数形结合．

例２０　（文１１）如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像如图１，则导函数的图像可能是 （　　）

　　　（Ａ）　　　　　　（Ｂ）

　　　（Ｃ）　　　　　　（Ｄ）

图２

解析 　 由 于 原 函 数 的图像呈现"增、减、增、减"的态势，所 以 其 导 数 图 像 应 该是 "正、负、正、负"，故选（Ａ）．

例２１　（ 福 建 理１２）已知函数ｙ＝ｆ（ｘ），ｙ＝ｇ（ｘ）的导函数图像如图２，则函数ｙ＝ｆ（ｘ），ｙ＝ｇ（ｘ）的图像可能是 （　　）

　　　（Ａ）　　　　　　　　（Ｂ）

　　　（Ｃ）　　　　　　　　（Ｄ）由于导函数图像"一减一增，且有交点"，所以

原函数图像对应的是"一凸一凹，且有平行切线"，故选（Ｄ）．

例２２　（福建理１５）已知定义域为（０，＋∞）的函数ｆ（ｘ）满足：（１）ｘ∈ （０，＋∞），恒有ｆ（２ｘ）＝２ｆ（ｘ）成立；（２）当ｘ∈ （１，２］时，ｆ（ｘ）＝２－ｘ，给出如下结论：

①对任意ｍ∈Ｚ，有ｆ（２ｍ）＝０；②函数ｆ（ｘ）的值域为［０，＋∞）；③存在ｎ∈Ｚ，使得ｆ（２ｎ＋１）＝９；④"函数ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上单调递减"的充要条件是"存在ｋ∈Ｚ，使得（ａ，ｂ） （２ｋ，２ｋ＋１）"

其中所有正确结论的序号是

图３

解析 　 根据题意画出图像，并且可以直观得

１５·复习参考·　 　　　　　 　　　　　 第４期（上半月）

到函数ｆ（ｘ）＝２ｎ＋１－ｘ，ｘ∈ （２ｎ，２ｎ＋１），因此所有问题便迎刃而解．

例２３　（２００８全国Ⅰ理９）设奇函数ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上 为 增 函 数，且ｆ（１）＝０，则 不 等 式ｆ（ｘ）－ｆ（－ｘ）

ｘ ＜０，的解集为 （　　）

（Ａ）（－１，０）∪ （０，＋∞）．（Ｂ）（－∞，－１）∪ （０，１）．（Ｃ）（－∞，－１）∪ （１，＋∞）．（Ｄ）（－１，０）∪ （０，１）．

解析 　 由于ｆ（ｘ）－ｆ（－ｘ）

ｘ ＜０，ｆ（－ｘ）＝

－ｆ（ｘ）２ｆ（ｘ）ｘ ＜０

ｆ（ｘ）ｘ ＜０

，画出草图，易得

解集为（Ｄ）．例２４　（ 全 国 Ⅱ 理１５）已 知 偶 函 数

ｆ（ｘ）在［０，＋∞）上单调递减，ｆ（２）＝０，若ｆ（ｘ－１）＞０，则ｘ的取值范围是 （解略）．

高考试题相互借鉴，呈现一定 的"周 期 性"是非常值得关注和探究的！

真可谓"年 年 岁 岁 题 相 似，岁 岁 年 年 人 不 同，抽象问题形象解，给力才能有魅力"！

"函数的性质"高考考点题型归类解析与预测

杜红全

（甘肃省康县第一中学，７４６５００）

函数是 高 中 数 学 的 核 心 内 容，几 乎 所 有 的 知识都有函数的影 子，函 数 的 性 质 是 历 年 高 考 必 考的重点和热点．纵观近几年的高考题，发现考点题型有以下几个方面．

一、函数奇偶性的判断与应用例１　（湖南，理３）已知ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）分

别是定义 在 Ｒ上 的 偶 函 数 和 奇 函 数，且ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝ｘ３＋ｘ２＋１，则ｆ（１）＋ｇ（１）＝ （　　）

（Ａ）－３．　　（Ｂ）－１．　　（Ｃ）１．　　（Ｄ）３．解析 　 因为ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）分别是定义在Ｒ上

的偶函 数 和 奇 函 数，所 以ｆ（１）＝ｆ（－１），ｇ（１）＝－ｇ（－１），于是ｆ（１）＋ｇ（１）＝ｆ（－１）－ｇ（－１）＝ （－１）３＋（－１）２＋１＝１，故应选（Ｃ）．

点评　本题考查了函数的奇偶性的定义和求函数值，解本 题 的 关 键 是 合 理 利 用 函 数 的 奇 偶 性的定义，判断 函 数 的 奇 偶 性 常 用 的 方 法 是 定 义 法和图象法．

跟踪练习１　（１）（广东，文５）下列函数为奇函数的是 （　　 ）

（Ａ）ｘ２＋２ｘ．　　　　　 （Ｂ）２ｃｏｓ　ｘ＋１．

（Ｃ）ｘ３ｓｉｎ　ｘ． （Ｄ）２ｘ－１２ｘ．

（２）（湖南，文１５）若ｆ（ｘ）＝ｌｎ（ｅ３ｘ ＋

１）＋ａｘ是偶函数，则ａ＝ 　　　　　　．

（答案：（１）Ｄ；（２）－３２．）

二、函数周期性的判断与应用例２　（全国大纲，文１２）奇函数ｆ（ｘ）

的 定义域为Ｒ，若ｆ（ｘ＋２）为偶函数，且ｆ（１）＝１，则ｆ（８）＋ｆ（９）＝ （　　）

（Ａ）－２． （Ｂ）－１．（Ｃ）０． （Ｄ）１．解析 　∵ 函 数 ｆ（ｘ）是 Ｒ 上 的 奇 函 数，

∴ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ），ｆ（０）＝０．∵ｆ（ｘ＋２）是偶函数，∴ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（－ｘ＋

２），∴ｆ（８）＝ｆ（６＋２）＝ｆ（－６＋２）＝ｆ（－４）＝－ｆ（４）．

又 ∵ｆ（４）＝ｆ（２＋２）＝ｆ（－２＋２）＝ｆ（０）＝０，∴ｆ（８）＝０．

同理ｆ（９）＝－ｆ（５）＝ｆ（１）＝１，∴ｆ（８）＋ｆ（９）＝０＋１＝１．故选（Ｄ）．

点评　本题考查抽象函数的奇偶性和周期性及函数值的计算．解本题的关键是根据ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（－ｘ＋２），利用周期性求出ｆ（８）和ｆ（９）的值即可．

跟踪练 习２　（ 全 国 大 纲，文１３）设ｆ（ｘ）是以２为周期的函数，当ｘ∈［１，３）时，ｆ（ｘ）

第４期（上半月）　　　　　　 　　　　　·复习参考·