积分的层蛋糕表示（Layer - Cake Representation）是实分析中一个非常实用的工具，它的核心思想是把非负函数的积分转化为其 “超水平集”（即函数值超过某一阈值的集合）的测度积分，从而将复杂的函数积分拆解为更易处理的 “测度 - 阈值” 积分。以下从定义、直观理解和典型应用（结合你贴的证明）展开解释：

一、层蛋糕表示的定义

二、直观理解：“切蛋糕” 的分层累加

三、为什么有用？

举例说明：

一、公式本质：“分层累加” 测度

二、简单示例：1 维分段常函数

其中积分

表示的意思是，满足g(x)>1条件的x的测度是3,而此时λ的变化范围是0到1。

三、复杂示例：2 维连续函数

四、总结

这就是层蛋糕表示的直观含义 ——用 “测度 - 阈值” 的积分等价替换 “函数 - 点” 的积分，是实分析中连接 “函数值” 与 “集合测度” 的重要工具。