高中数学:每天五个知识点 - 第41天

昨天我们学习了点斜式和斜截式这两种常用的直线方程。今天我们来认识另外两种特殊形式——两点式和截距式，并最终归结到最具有普适性的“一般式”，然后开始探讨两条直线在平面上如何“相处”。

知识点 1：直线方程的两点式 (Two-Point Form)

• 通俗解释： 如果你知道一条直线经过哪两个不同的点 (x, y) 和 (x, y)，可以直接把坐标代入这个公式得到方程。它本质上是由斜率公式推导出来的。
• 方程： 经过两个不同点 P(x, y) 和 P(x, y) (其中 x ≠ x 且 y ≠ y) 的直线方程为：
• (y - y) / (y - y) = (x - x) / (x - x)
• 适用条件： 这两个点不能构成垂直于 x 轴或 y 轴的直线 (即 x ≠ x 且 y ≠ y)。
• 推导： 设直线上任意一点 P(x, y)。则直线 PP 的斜率和直线 PP 的斜率相等，即 (y - y) / (x - x) = (y - y) / (x - x)，整理得到两点式。
• 优点： 已知两点时，代入直接，形式对称。
• 缺点： 不适用于坐标轴平行或重合的直线。
• 计算例题： 求经过点 A(-1, 4) 和 B(2, 1) 的直线方程（用两点式表示）。
• 答：(y - 4) / (1 - 4) = (x - (-1)) / (2 - (-1))
• (y - 4) / (-3) = (x + 1) / 3
• (可以化简：y - 4 = -(x + 1) => x + y - 3 = 0)

知识点 2：直线方程的截距式 (Intercept Form)

• 通俗解释： 如果你知道一条直线在 x 轴上的截距 a 和在 y 轴上的截距 b 分别是多少（而且这两个截距都不是0），那么可以用这个非常简洁的截距式方程。
• 方程： 在 x 轴上的截距为 a (a ≠ 0)，在 y 轴上的截距为 b (b ≠ 0) 的直线方程为：
• x/a + y/b = 1
• 适用条件： 直线不经过原点 (即 a ≠ 0 且 b ≠ 0)，且不平行于坐标轴。
• 推导： 直线经过点 (a, 0) 和 (0, b)。用两点式可以推导出来。
• 优点： 形式简单，几何意义明确（直接看出两个截距）。
• 缺点： 限制条件多，不适用于过原点或平行于坐标轴的直线。
• 计算例题： 已知一条直线在 x 轴上的截距是 3，在 y 轴上的截距是 -2。求该直线的截距式方程。
• 答： a = 3, b = -2。
• 截距式方程为：x/3 + y/(-2) = 1
• (可以化简：x/3 - y/2 = 1 => 2x - 3y = 6 => 2x - 3y - 6 = 0)

知识点 3：直线方程的一般式 (General Form)

• 通俗解释： 这是直线方程的“万能形式”，它可以表示平面上所有的直线，没有任何限制！它把所有项都移到一边，等于 0。
• 方程： 关于 x, y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0(其中 A, B 不同时为 0) 叫做直线方程的一般式。
• 特点与转换：
• 优点： 可以表示任何直线。
• 缺点： 不如其他形式直观（看不出斜率、截距等）。
• 斜率： 若 B ≠ 0，则 By = -Ax - C => y = (-A/B)x + (-C/B)。所以斜率 k = -A/B，纵截距 b = -C/B。
• 斜率不存在： 若 B = 0 (此时 A≠0)，方程为 Ax + C = 0 => x = -C/A，表示一条垂直于 x 轴的直线，斜率不存在。
• 水平直线： 若 A = 0 (此时 B≠0)，方程为 By + C = 0 => y = -C/B，表示一条平行于 x 轴的直线，斜率 k = 0。
• 计算例题： 将直线方程 y - 3 = 2(x + 1) 化为一般式。
• 答： y - 3 = 2x + 2
• 2x - y + 2 + 3 = 0
• 2x - y + 5 = 0。（这就是一般式，其中 A=2, B=-1, C=5）

知识点 4：两条直线的位置关系 - 平行 (Parallel Lines)

• 通俗解释： 两条直线平行，意味着它们“方向”相同但“位置”不同，永远不会相交。用斜率来判断最方便。
• 判定条件： 设两条直线 l: y = kx + b 和 l: y = kx + b。
• l // l 的充要条件是：k = k 且 b ≠ b。(斜率相等，纵截距不等)
• 注意： 如果 k = k 且 b = b，那么两条直线重合。
• 对于一般式 l: Ax + By + C = 0 和 l: Ax + By + C = 0：
• l // l 的充要条件是：A/A = B/B ≠ C/C (要求 A, B, C 都不为0。更严谨的写法是 AB - AB = 0 且 BC - BC ≠ 0 或 AC - AC ≠ 0)。
• (记忆：x, y 系数对应成比例，但常数项不成比例)
• 特殊情况： 如果两条直线斜率都不存在（都垂直于x轴），它们也平行。
• 计算例题： 判断直线 l: y = 2x + 3 与 l: 4x - 2y + 1 = 0 的位置关系。
• 答： l 的斜率 k = 2。
• 将 l 化为斜截式：-2y = -4x - 1 => y = 2x + 1/2。l 的斜率 k = 2，纵截距 b = 1/2。
• 因为 k = k = 2，且 b = 3 ≠ b = 1/2。
• 所以 l // l。

知识点 5：两条直线的位置关系 - 相交 (Intersecting Lines)

• 通俗解释： 两条直线相交，意味着它们只有一个公共点（交点）。
• 判定条件：
• 斜截式： l: y = kx + b, l: y = kx + b。l 与 l 相交的充要条件是 k ≠ k。(斜率不相等)
• 一般式： l: Ax + By + C = 0, l: Ax + By + C = 0。l 与 l 相交的充要条件是 A/A ≠ B/B (即 AB - AB ≠ 0)。(x, y 系数不成比例)
• 求交点坐标： 联立两条直线的方程，解这个二元一次方程组，得到的解 (x, y) 就是交点的坐标。
• 计算例题： 求直线 l: x + y - 3 = 0 与 l: 2x - y = 0 的交点坐标。
• 答： 联立方程组：
• { x + y - 3 = 0 (①)
• { 2x - y = 0 (②)
• 由 ② 得 y = 2x。
• 代入 ①：x + (2x) - 3 = 0 => 3x = 3 => x = 1。
• 将 x = 1 代回 y = 2x 得 y = 2(1) = 2。
• 所以交点坐标为 (1, 2)。

练习题：

1. 求经过点 (1, 6) 和 (-3, -2) 的直线方程（用两点式表示，并化为一般式）。
2. 一条直线与 x 轴交于点 (5, 0)，与 y 轴交于点 (0, -4)。写出它的截距式方程和一般式方程。
3. 直线 3x - 4y + 12 = 0 的斜率是多少？如果一条直线与它平行，且过点 (1, 1)，求这条直线的方程。
4. 判断直线 l: y = -x + 1 与 l: x - y + 2 = 0的位置关系。如果是相交，求出交点坐标。
5. 直线 ax + 2y + 1 = 0 与直线 x + (a+1)y + 2 = 0 平行，求实数 a 的值。

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