巧解疑难方程的方法技巧(1)——初中数学〈方程〉

初中数学〈方程〉，是一部分重要内容。它不仅在实际应用中重要的作用，而且一方面能考察你对前面学过的实数、代数式等知识掌握的情况 ，另一方面还为后面的函数等知识做好了铺垫。

在初中〈方程〉中，一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程是最重要，也是最基础的内容，安排课时也较多，把这些知识学深学透是理所当然的。

简单的高次方程、分式方程、无理方程是有一定难度的，除了掌握基本方法，还必须学会一些特殊的方法和技巧，例如“根与系数的关系法”、“均值换元法”、“数据变换分组分解法”、“恒等变形法”等等，要在认真审题的基础上，根据题目特点选择合适的解题方法。

下面结合例题，介绍几个巧解疑难方程的方法和技巧，仅供参考。

第一，用巧变数据（或者叫拆项裂项）分组分解法，结合换元法巧解方程。

换元法是解疑难方程常用的方法，根据题目特点，可以整体换元，可以局部换元，可以均值换元等等。采用换元法，一般要经过设元、换元、解新元、回代四个步骤，对于分式方程和无理方程还要验根。

【例题1】解方程

(x+2020)(x+2018)=3

【解析】这个题数据较大，虽然不算太难的题目，但是按一般思路解答，计算量较大，相当麻烦。面对此类问题，就要考虑能不能通过变换数据使运算简便。

2020和2018的平均数是2019，如果把2020拆分成2019+1，把2018改写成2019-1，就能应用平方差公式了。

解：原方程变形为

（x+2019+1）(x+2019-1)=3,

(x+2019)^2=4,

x+2019=±2,

∴x=-2017,

x=-2021。

【例题2】解方程(x-85)(x-87)=99

【解析】这个题与上题类似。

解：原方程变形为

（x-86+1）(x-86-1)=99,

（x-86）^2-1=99,

(x-86)^2=100,

x-86=±10,

∴x=96,x=76。

【例题3】解方程

（3x+1）(7x+1)=21

【解析】此题按一般解法，先展开，再整理成一元二次方程标准形式，然后根据具体情况选择解题方法，相当麻烦。

如果把两个括号里面x的系数化为相等的形式，再通过进一步整理，使之能运用平方差公式解答，问题就简单多了。

解：方程的两边都乘以未知数系数的最小公倍数21，即第一个括号乘以7，第二个括号乘以3得：

（21x+7）（21x+3)=21×21

∵常数项的平均数是5，∴原方程变形为

(21x+5+2)(21x+5-2)=441

(21x+5)^2=445

21x+5=±√445,

∴x=(√445-5)/21,

x=（-√445-5)/21。

【例题4】解方程

(6x+7)^2(3x+4)(x+1)=6

【解析】此题是高次方程，按常规解答“先展开，再整合”相当麻烦。

解决此类问题，一般是先把括号里面未知数的系数变为相等，构造出相同的“结构”，然后应用整体换元法换元，化繁为简，再利用有关公式求解。

解：原方程变形为

（6x+7）^2(6x+8)(6x+6)=6×12,

(6x+7)^2(6x+7+1)(6x+7-1)=72,

(6x+7)^2[(6x+7)^2-1]=72,

令（6x+7)^2=a,

则a(a-1)=72,

a^2-a-72=0,

(a-9)(a+8)=0,

∴a-9=0,a=9；

a+8=0,a=-8.

∴(6x+7)^2=9,6x+7=±3,

x=-2/3,x=-5/3.

(6x+7)^2=-8,无实数根。

【例题5】解方程

(x^2+6x+7)(x^2+10x+7)+4x^2=0

【解析】此题也属于高次方程，按一般方法解答很麻烦。

观察题目，两个括号里面二次项和常数项都相同，只有一次项系数不同。这就要要考虑巧变数据，取一次项系数的平均值，构造相同的系数，通过适当的变换，利用公式求解。

解：原方程化为

（x^2+8x+7-2x）（x^2+8x+7+2x）

+4x^2=0

(x^2+8x+7)^2=0,

(x+7)^2(x+1)^2=0

∴(x+7)^2=0,x=x=-7;

(x+1)^2=0,x=x=-1。

【下面的例题6、7、8、9都是需要变换数据的题目，其中包含了数列的规律。】

【例题10】解方程

（x+1）^2+(x+2)^3+(x+3)=2

【解析】此方程属于高难度的题目，按常规思路考虑，肯定会难住不少人。

对这类问题，首先要考虑用换元法，先化繁为简。然后，用“解高次方程”常用的拆项分组分解法解答。

解：令x+3=t,则原方程转化为

（t-2）^2+(t-1)^3+t=2,

展开得

t^2-4t+4+t^3-3t^2+3t-1+t=2,

整理得

t+t^3-2t^2-t+1=0,

拆项分组得

（t+t^3)-(2t^2+2t)+(t+1)=0,

提取公因式得

t^3(t+1)-2t(t+1)+(t+1)=0,

提取公因式得

(t+1)(t^3-2t+1)=0,

第二个括号继续分解因式得

(t+1)(t-1)(t^2+t-1)=0

∴t+1=0,t=-1；

t-1=0,t=1；

t^2+t-1=0,Δ=1^2-4×1×(-1)=5

t=-1/2+√5/2；

t=-1/2-√5/2。

∴x=t-3=-4,

x=t-3=-2,

x=t-3=-7/2+√5/2,

x=t-3=-7/2-√5/2。

【例题11】解方程x^3+4x^2-360=0

【解析】此题属于高次方程，一般要考虑用拆项分组分解因式法。可是怎么拆项分组？这个题的前两项是立方与平方，第三项是较大的负数，在分析时就要多思路探索，既要根据因式定理试根，又要考虑立方差公式和平方差公式。

解法一——拆项分组分解法：

(x^3-6x^2)+(10x^2-60x)+(60x-360)=0

x^2(x-6)+10x(x-6)+60(x-6)=0

(x-6)(x^2+10x+60)=0

∴x-6=0,x=6；

x^2+10x+60=0,Δ=10^2-4×1×60

=-140＜0,无实数根。

解法二——配方分组分解法：

(x^3-6^3)+4(x^2-6^2)=0

(x-6)(x^2+6x+36)+(x-6)(4x+24)=0

(x-6)(x^2+6x+36+4x+24)=0

(x-6)(x^2+10x+60)=0

∴x-6=0,x=6；

x^2+10x+60=0,Δ=10^2-4×1×60

=-140＜0,无实数根。

【例题12】解方程3x^3+7x^2-4=0

【解析】尝试拆项分组分解法。

解：（3x^3+3x^2）+4(x^2-1)=0

3x^2(x+1)+4(x+1)(x-1)=0

(x+1)(3x^2+4x-4)=0

(x+1)(3x-2)(x+2)=0

∴x+1=0,x=-1；

3x-2=0,x=2/3;

x+2=0,x=-2。

【例题13】解方程

x^2(x+1)^2+x^2-8(x+1)^2=0

【解析】这也是一个难度较大的题目，可以先展开，再用拆项分组分解法解答；也可以先配方，再用提取公因式法解答。

解法一:先把原方程展开

x+2x^3+x^2+x^2-8x^2-16x-8=0

整理得

x+2x^3-6x^2-16x-8=0

拆项分组得

（x+2x^3）-（6x^2+12x）

-（4x+8)=0

提取公因式得

x^3(x+2)-6x(x+2)-4(x+2)=0

提取公因式得

(x+2)(x^3-6x-4)=0

第二个括号继续拆（添）项分组

(x+2)[(x^3+2x^2)-(2x^2+4x)-(2x+4)]=0

第二个括号提取公因式x+2

(x+2)[x^2(x+2)-2x(x+2)-2(x+2)]=0

(x+2)^2(x^2-2x-2)=0

∴(x+2)^2=0,x=x=-2;

x^2-2x-2=0,Δ=(-2)^2-4×1×(-2)=12,

x=1+√3;x=1-√3。

解法二：原方程变形为

[x(x+1)+x]^2-2x^2(x+1)-8(x+1)^2=0

x^2（x+2）^2-2(x+1)(x^2+4x+4)=0

x^2（x+2）^2-2(x+1)(x+2)^2=0

(x+2)^2(x^2-2x-2)=0

∴(x+2)^2=0,x=x=-2;

x^2-2x-2=0,Δ=(-2)^2-4×1×(-2)=12,

x=1+√3;x=1-√3。

【例题14】解方程

（x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3=0

【解析】此题前面是四个括号，可以大小两项结合相乘，中间两项相乘，构造相同或相近的因式，然后换元求解。

解：[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]-3=0

(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-3=0

令x^2+5x+5=m,

则(m-1)(m+1)-3=0

m^2=4,∴m=2,m=-2。

当m=2时，x^2+5x+5=2,

x^2+5x+3=0,

Δ=25-12=13

x=-5/2+√13/2

x=-5/2-√13/2。

当m=-2时，x^2+5x+5=-2,

x^2+5x+7=0，

Δ=25-28=-3＜0，无实数根。

第二，用“均值换元法”与“根与系数的关系”相结合的方法，巧解一元二次方程。

解一元二次方程方程，常用的有直接开平方法、因式分解法、配方法和求根公式法。在具体运用中，首先考虑能不能直接开平方，再考虑能不能因式分解，或者能不能配方，最后才考虑求根公式法。求根公式法，是万能的，所有的一元二次方程都能解答。然而，用求根公式法解一元二次方程不简单。

用“均值换元法”与“根与系数的关系”相结合的方法解一元二次方程，是一个不错的方法，称得上是个巧法。

【例题1】解方程x^2+2x-19=0

解：根据根与系数的关系x+x=-2,x·x=-19。

∵两个根的平均值为-1，∴

令x=-1+t,x=-1-t,则

（-1+t）(-1-t)=-19,

1-t^2=-19,t^2=20,t=±2√5,

∴当t=2√5时，x=-1+2√5,

当t=-2√5时，x=-1-2√5。

【例题2】解方程

3a^2+7a=6

解：原方程化为

a^2+7/3a-2=0

根据根与系数的关系

a+a=-7/3,a·a=-2,

令a=-7/6+t,a=-7/6-t,

则（-7/6+t）(-7/6-t)=-2,

49/36-t^2=-2

t^2=121/36,t=±11/6,

当t=11/6时，x=-7/6+11/6=2/3

当t=-11/6时，x=-7/6-11/6=-3。

【例题3】解方程x^2-2x+2=0

解：根据根与系数的关系

x+x=2,x·x=2,

令x=1+t,x=1-t,

则(1+t)(1-t)=2,

t^2=-1,

∴t没有实数根，原方程没有实数根。

【例题4】解方程x^2+2x+1=0

解：根据根与系数的关系

x+x=-2,x·x=1,

令x=-1+t,x=-1-t,

则(-1+t)(-1-t)=1

t^2=0,t=0,

原方程有两个相等的实数根

x=x=-1。

第三，用换元法解分式方程

换元法是解分式方程常用的方法，而且整体换元法用的最多。

第四，用换元法解无理方程

解无理方程的主导思想就是去根号，先把无理方程变成有理方程求解，最后把求得的结果代入原方程或者原根号内检验，是不是原方程的解。去根号的方法不同，就出现了不同的解法。

换元法是解无理方程常用的方法。换元法又有多种形式，尽量常用的几种形式都试一试。

为了便于各种解法的比较，个别例题选用多种解法解答。凡能用多种方法解答的题目，都不算难，目的在于学习方法。