本篇介绍代数初步知识，包括数学符号和数量表达式的概念，并阐述相关表达规范。

在前面的几个章节裡，我们已经用过以字母代表一类数字的方法，这在数学中是惯用的方法。本章将介绍各类数量表达式的概念，并着重阐述整式、分式、根式的恒等变形相关内容。

5.1.1数学符号

在此前的数个章节里，我们已经使用过很多符号，归纳下来，主要包括以下几类：

（1）数字符号：用来表示具体的数字，比如：；

（2）运算符号：用来表示运算方法的符号，比如：；有时我们用特定格式来表示运算方法，比如用上标表示乘方，也视作运算符号；

（3）关系符号：用来表示两个事物之间关系的符号，比如：；

（4）逻辑符号：用来阐述逻辑关系的符号，比如：；

（5）指代符号：用来指代具体事物的符号，比如：；

（6）映射符号：用来表示某种映射关系的符号，比如：；

在此之外，我们还经常用字母符号表示一些并不具体的数字，比如：a,b,c,i,j,k,m,n,p,q,x,y,z等。我们将这种用一个字母符号表示未知数的方法，称作代数（algebra）。

5.1.2数量表达式

我们把具体的数字称作常数（constant），表示未知数的符号称作变量（variable）。我们用常数和变量通过运算符号、映射关系式组合得到一个式子，在取值范围内为未知数赋值可以得到式子的值，这样的式子叫做算式或表达式（expression）。表达式不包含关系符号或逻辑符号。

由常数和变量进行有限次四则运算的代数式，叫做有理式（rational expression）。对变量做乘方运算时，若指数为整数常数,可以化为有限次的乘法或除法，所以也属于有理式的范畴。如：

当有理式中在做除法时，若除数中包含变量，或者在负整次幂的底数中包含变量，称作分式（fraction），如：

有理式中变量不在除数位置或负整次幂的底数位置的，称作整式（integral expression）。如：

没有加减运算的整式叫做单项式（monomial），单独的一个常数或变量也称作单项式。不少于两个单项式的咊叫做多项式（polynomial）。

对含有变量的有理式做乘方运算时，若指数为分数，也就是说包含了开方运算，不属于有理式，我们称之为根式（radical expression），如

我们把有理式和根式统称为代数式（algebraic expression）。

代数式之外的表达式，称为超越式（transcendental expression），主要包括无理次幂、变量次幂，无限次四则运算和其他映射关系式等，如

根式和超越式统称为无理式（irrational expression）。

以上概念的关系如下：

5.1.3表达规范

为使表达式呈现出准确无误的含义，同时也遵循简便易于辨认的原则，我们一般这样规范表达式：

（1）运算优先级顺序：独立区域、省略的乘号、映射关系与大型运算符、乘除、加减；

（2）独立区域指括号内部、根号内部、分子、分母、上标（例如：指数位置）、下标（例如：排列数、组合数）等区域（根号次数位置也是独立区域，如果不为正整数一般改作分数指数幂的形式），独立区域按照嵌套关系由内到外计算；

（3）乘号可以在不引起歧义的情况下省略，省略后的乘法运算优先级升高；

（4）除号一般改作分数形式；

（5）相同优先级的运算从左至右计算。

例5.1.3.1 代数计算

（1）；

（2）；

（3）。

解：（1）

（2）

（3）

答毕。