高中数学:每天五个知识点 - 第37天

厌倦了在立体几何里找辅助线、解三角形了吗？今天我们请来一位强大的“外援”——空间向量！用坐标和代数运算来处理空间中的位置关系和度量，将让很多问题变得更加程序化和简洁。

知识点 1：空间向量及其相关概念 (Space Vectors & Related Concepts)

• 通俗解释： 平面向量是二维的，空间向量就是三维的！它同样是既有大小又有方向的量，只是现在它可以在三维空间中任意指向。基本概念和平面向量类似。
• 扩展概念：
• 空间向量： 具有大小和方向的三维空间中的量。
• 相等向量： 大小相等且方向相同的空间向量。
• 共线向量（平行向量）： 方向相同或相反的两个空间向量。**a** // **b** <=> **b** = λ**a** (a≠0)。
• 共面向量： 指能够平移到同一个平面内的若干个向量。
• 空间向量基本定理： 如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对于空间任意一个向量 p，存在唯一的有序实数组 {x, y, z}，使得 **p = x**a** + y**b** + z**c**。不共面的 a, b, c 构成空间的一个基底。
• 生活例子： 无人机在空中的飞行速度、地球对月球的引力、磁场中某点的磁感应强度等都是空间向量。

知识点 2：空间向量的坐标表示与运算 (Coordinate Representation & Operations)

• 通俗解释： 把空间向量放到三维直角坐标系 (O-xyz) 中。通常选定 x, y, z 轴正方向的单位向量 i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) 作为标准基底。
• 定义与运算：
• 空间任意向量 a 可唯一表示为 a = x**i** + y**j** + z**k**。有序实数组 (x, y, z) 称为向量 a 的坐标**，记作 a = (x, y, z)。
• 若起点 A(x, y, z)，终点 B(x, y, z)，则 vec{AB} = (x - x, y - y, z - z) (“终点减起点”)。
• 坐标运算： (与平面向量类似，增加一个维度)
• 加法： (x, y, z) + (x, y, z) = (x + x, y + y, z + z)
• 减法： (x, y, z) - (x, y, z) = (x - x, y - y, z - z)
• 数乘： λ(x, y, z) = (λx, λy, λz)
• 模： 若 a = (x, y, z)，则 |**a**| = √(x^2 + y^2 + z^2) (空间勾股定理)。
• 共线向量坐标表示： a = (x, y, z), b = (x, y, z) 共线 <=> (x, y, z) = λ(x, y, z) <=> x = λx, y = λy, z = λz (对应坐标成比例，若分母不为0)。
• 计算例题： 已知 a = (1, -2, 3)，b = (0, 4, -1)。求 a + 2b 和 |a|。
• 答：
• 2**b** = 2(0, 4, -1) = (0, 8, -2)
• **a** + 2**b** = (1, -2, 3) + (0, 8, -2) = (1+0, -2+8, 3+(-2)) = (1, 6, 1)。
• |**a**| = √(1^2 + (-2)^2 + 3^2) = √(1 + 4 + 9) = √14。

知识点 3：空间向量的数量积 (点积) (Dot Product of Space Vectors)

• 通俗解释： 空间向量的点积和平面向量完全一样！它还是一个数，等于两个向量的模乘以它们夹角 θ 的余弦。坐标运算也类似，就是对应坐标乘积的和。
• 定义与公式：
• a · b = |a| |b| cosθ (0° ≤ θ ≤ 180°)
• 坐标运算： 若 a = (x, y, z), b = (x, y, z)，则
• a · b = xx + yy + zz
• 性质 (与平面向量相同)：
• **a** · **a** = |**a**|^2
• **a** ⊥ **b** <=> **a** · **b** = 0 (a, b 非零)
• cosθ = (**a** · **b**) / (|**a**| |**b**|) (a, b 非零)
• 计算例题： 已知 a = (1, 0, -2)，b = (2, 1, 1)。求 a 与 b 的夹角的余弦值。
• 答：
• **a** · **b** = (1 * 2) + (0 * 1) + ((-2) * 1) = 2 + 0 - 2 = 0。
• 因为点积为 0，且向量非零，所以 a ⊥ b。
• 夹角为 90°，余弦值为 cos90° = 0。
• (如果点积非零再算模长：|**a**|=√5, |**b**|=√6。 cosθ = 0 / (√5 * √6) = 0)

知识点 4：用空间向量证明平行关系 (Proving Parallelism using Space Vectors)

• 通俗解释： 如何用向量证明线线平行、线面平行、面面平行？核心思想是把几何关系转化为向量关系。
• 向量方法：
• 证明线线平行 (l // l)： 取直线 l, l 的方向向量分别为 d, d。证明 d // d，即证明存在实数 λ 使得 d = λd (或坐标对应成比例)。
• 证明线面平行 (l // α)： 取直线 l 的方向向量 d。在平面 α 内找到一个向量 v (通常是平面内某条直线的方向向量或者连接平面内两点的向量)，使得 d // v (d = λv)。并且要确保直线 l 不在平面 α 内。
• 更常用的方法是：证明直线 l 的方向向量 d 可以由平面 α 内两个不共线的向量 u, v 线性表示，即 d = x**u** + y**v** (这说明 d 与 u, v 共面)，同时 d 与平面 α 的法向量** (后面讲) 垂直 (d · n = 0)。
• 证明面面平行 (α // β)： 在平面 α 内取两个不共线的向量 u, v。在平面 β 内取两个不共线的向量 u, v。如果 u 可以由 u, v 线性表示，并且 v 也可以由 u, v 线性表示，则 α // β。
• 更常用的方法是：证明两个平面的法向量 (后面讲) 平行 (n = λn)。
• 方向向量： 代表直线方向的向量。直线上任意两点构成的向量，或与直线平行的任意非零向量都可以作为其方向向量。

知识点 5：用空间向量证明垂直关系 (Proving Perpendicularity using Space Vectors)

• 通俗解释： 如何用向量证明线线垂直、线面垂直、面面垂直？核心武器就是点积等于零！
• 向量方法：
• 证明线线垂直 (l ⊥ l)： 取直线 l, l 的方向向量分别为 d, d。证明 d · d = 0。
• 证明线面垂直 (l ⊥ α)： 取直线 l 的方向向量 d。在平面 α 内找到两个不共线的向量 u, v (比如由平面内三点构成)。证明 d ⊥ u 且 d ⊥ v，即证明 d · u = 0 且 d · v = 0。
• 证明面面垂直 (α ⊥ β)： 在一个平面 (比如 α) 内找到一个向量 d，使得 d 垂直于另一个平面 β (即 d ⊥ β)。
• 更常用的方法是：求出两个平面的法向量 n, n (后面讲)。证明 n · n = 0 (即法向量垂直)。
• 法向量 (Normal Vector)： 垂直于平面的非零向量。

练习题：

1. 已知空间三点 A(1, 1, 1), B(2, 3, 4), C(3, 2, 1)。求向量 vec{AB} 和 vec{AC} 的坐标。
2. 求向量 p = (2, -1, 2) 的模长。
3. 判断向量 u = (1, 2, 3) 与 v = (-3, 0, 1) 是否垂直？
4. 在正方体 ABCD-ABCD 中，建立坐标系（如 D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴）。写出顶点 A, C, B, A 的坐标。并用向量证明对角线 AC ⊥ BA。（假设棱长为1）
5. 已知直线 l 的方向向量 d = (1, 1, 1)，平面 α 内两个不共线的向量 u = (1, 0, -1), v = (0, 1, -1)。证明 d 垂直于 u 和 v，从而证明 l ⊥ α。

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Tags：五种基本关系代数运算

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