高中数学:每天五个知识点 - 第39天

掌握了平面的法向量之后，空间向量这把“瑞士军刀”就能发挥出更大的威力了！今天我们就来学习如何用向量方法精确计算空间中的各种角和距离，告别繁琐的添辅助线和解三角形。

知识点 1：用向量求异面直线所成的角 (Angle between Skew Lines using Vectors)

• 通俗解释： 之前我们用平移法求异面直线夹角。现在用向量法：找到两条异面直线的方向向量，直接计算这两个方向向量夹角的余弦值，然后取其绝对值（保证结果对应0到90度的角）。
• 公式： 设异面直线 l, l 的方向向量分别为 d, d，它们所成的角为 θ (0° < θ ≤ 90°)，则：
• cosθ = |d · d| / (|d| |d|)
• (注意分子有绝对值，因为异面直线夹角定义为锐角或直角)
• 步骤：
• 建立空间直角坐标系。
• 确定两条直线 l, l 的方向向量 d, d 的坐标。
• 计算点积 d · d。
• 计算模 |d| 和 |d|。
• 代入公式计算 cosθ。
• 如果需要，可以通过 arccos 求出角度 θ。
• 计算例题： 在棱长为 1 的正方体 ABCD-ABCD 中，建立坐标系 D(0,0,0), A(1,0,0), C(0,1,0), D(0,0,1)。求异面直线 AB 和 BC 所成的角 θ。
• 答：
• A(1,0,1), B(1,1,0) => vec{AB} = B - A = (0, 1, -1)。取 d = (0, 1, -1)。
• B(1,1,1), C(0,1,0) => vec{BC} = C - B = (-1, 0, -1)。取 d = (-1, 0, -1)。
• d · d = (0)*(-1) + (1)*(0) + (-1)*(-1) = 0 + 0 + 1 = 1。
• |d| = √(0^2 + 1^2 + (-1)^2) = √2。
• |d| = √((-1)^2 + 0^2 + (-1)^2) = √2。
• cosθ = |d · d| / (|d| |d|) = |1| / (√2 * √2) = 1 / 2。
• 因为 0° < θ ≤ 90°，所以 θ = 60°。(与第35天平移法结果一致)

知识点 2：用向量求直线与平面所成的角 (Angle between Line and Plane using Vectors)

• 通俗解释： 直线和它在平面上射影的夹角 θ 怎么用向量算？可以找到直线的方向向量 d 和平面的法向量 n。它们俩的夹角 φ 和我们要求的线面角 θ 之间有个关系：它们互余 (θ + φ = 90°)！所以算出 cosφ 后，用 sinθ = |cosφ| 就能得到线面角的正弦值。
• 公式： 设直线 l 的方向向量为 d，平面 α 的法向量为 n，线面角为 θ (0° ≤ θ ≤ 90°)，d 与 n 的夹角为 φ (0° ≤ φ ≤ 180°)。则：
• sinθ = |cosφ| = |d · n| / (|d| |n|)
• (注意是 sinθ 等于 cosφ 的绝对值)
• 步骤：
• 建立坐标系。
• 求直线 l 的方向向量 d。
• 求平面 α 的法向量 n。
• 计算点积 d · n。
• 计算模 |d| 和 |n|。
• 代入公式计算 sinθ。
• 计算例题： 在棱长为 1 的正方体中（同上坐标系），求直线 AB 与平面 ABCD 所成的角 θ。
• 答：
• 直线 AB 方向向量 d = vec{AB} = (0, 1, -1)。
• 平面 ABCD 的一个法向量是 n = vec{DD} = (0, 0, 1)。（因为 DD 垂直于底面）
• d · n = (0)*(0) + (1)*(0) + (-1)*(1) = -1。
• |d| = √2。
• |n| = 1。
• sinθ = |d · n| / (|d| |n|) = |-1| / (√2 * 1) = 1 / √2 = √2 / 2。
• 因为 0° ≤ θ ≤ 90°，所以 θ = 45°。(与第35天几何法结果一致)

知识点 3：用向量求二面角 (Dihedral Angle using Vectors)

• 通俗解释： 如何用向量计算两个相交平面 α, β 的二面角 θ？ 只需要找到这两个平面的法向量 n, n。这两个法向量的夹角 φ (或其补角 180°-φ) 就等于二面角的平面角 θ！具体取哪个取决于二面角是锐角还是钝角（或根据图形判断）。
• 公式： 设平面 α, β 的法向量分别为 n, n，二面角 α-l-β 的大小为 θ (0° ≤ θ ≤ 180°)，法向量夹角为 φ (0° ≤ φ ≤ 180°)。则：
• cosθ = ± cosφ = ± (n · n) / (|n| |n|)
• 或者 cosθ = |n · n| / (|n| |n|) 直接求锐二面角的余弦值。 然后根据实际图形判断二面角是锐角还是钝角（如果题目要求区分）。通常题目会问“二面角的余弦值”或者假定求锐二面角。
• 步骤：
• 建立坐标系。
• 求平面 α 的法向量 n。
• 求平面 β 的法向量 n。
• 计算点积 n · n。
• 计算模 |n| 和 |n|。
• 代入公式 cosφ = (n · n) / (|n| |n|) 计算法向量夹角的余弦。
• 根据图形判断或题目要求，确定二面角 θ 的余弦值是 cosφ 还是 -cosφ (或者直接用 |cosφ| 表示锐二面角的余弦)。
• 计算例题： 在正方体中（同上坐标系），求二面角 A-BD-C 的大小（的余弦值）。
• 答：
• 平面 ABD：过 A(1,0,1), B(1,1,0), D(0,0,0)。vec{AB}=(0,1,-1), vec{DB}=(1,1,0)。设法向量 n=(x,y,z)。n·vec{AB}=y-z=0 => y=z。n·vec{DB}=x+y=0 => x=-y。令 y=1, 则 z=1, x=-1。n=(-1, 1, 1)。
• 平面 BCD：即平面 ABCD。法向量 n = (0, 0, 1)。
• n · n = (-1)*0 + 1*0 + 1*1 = 1。
• |n| = √((-1)^2 + 1^2 + 1^2) = √3。
• |n| = 1。
• 法向量夹角余弦 cosφ = (n · n) / (|n| |n|) = 1 / (√3 * 1) = 1/√3 = √3 / 3。
• 从图形上看，二面角 A-BD-C 是锐角。
• 所以二面角的余弦值为 cosθ = cosφ = √3 / 3。

知识点 4：用向量求点到平面的距离 (Point-to-Plane Distance using Vectors)

• 通俗解释： 如何用向量计算点 P 到平面 α 的距离？可以在平面 α 上找一个点 A，连接 PA 得到向量 vec{PA}。然后找到平面 α 的法向量 n。点 P 到平面 α 的距离，就是向量 vec{PA} 在法向量方向上投影的长度的绝对值！
• 公式： 设点 P 不在平面 α 内，点 A 是平面 α 内任意一点，n 是平面 α 的一个法向量。则点 P 到平面 α 的距离 d 为：
• d = |vec{PA} · n| / |n|
• 步骤：
• 建立坐标系。
• 确定点 P 和平面 α 内一点 A 的坐标，计算向量 vec{PA}。
• 求平面 α 的法向量 n。
• 计算点积 vec{PA} · n。
• 计算模 |n|。
• 代入公式计算距离 d。
• 计算例题： 在棱长为 2 的正方体 ABCD-ABCD 中，建立坐标系 D(0,0,0), A(2,0,0), C(0,2,0), D(0,0,2)。求点 A 到平面 BDC 的距离。
• 答：
• 点 P=A(2,0,0)。平面 BDC 过 B(2,2,0), D(0,0,0), C(0,2,2)。取平面内一点 A 为 D(0,0,0)。vec{DA} = A - D = (2,0,0)。
• 求平面 BDC 法向量 n。vec{DB}=(2,2,0), vec{DC}=(0,2,2)。设 n=(x,y,z)。n·vec{DB}=2x+2y=0 => x=-y。n·vec{DC}=2y+2z=0 => y=-z。令 z=1, 则 y=-1, x=1。n=(1, -1, 1)。
• vec{DA} · n = (2)*1 + (0)*(-1) + (0)*1 = 2。
• |n| = √(1^2 + (-1)^2 + 1^2) = √3。
• 距离 d = |vec{DA} · n| / |n| = |2| / √3 = 2/√3 = 2√3 / 3。

知识点 5：空间向量方法总结 (Summary of Space Vector Method)

• 核心优势： 将空间几何问题转化为代数运算，思路清晰，步骤程序化，避免了作辅助线和复杂推理的困难。尤其适合计算角度和距离。
• 基本流程：
• 建立坐标系： 选择合适的原点和坐标轴。
• 求点坐标： 确定相关点的坐标。
• 求向量坐标： 计算所需的向量（方向向量、法向量、连接两点的向量等）。
• 代数运算： 利用点积、模长公式等进行计算。
• 几何解释： 将计算结果翻译回几何意义（角度、距离、平行、垂直）。
• 关键： 熟练掌握向量的坐标运算、点积运算、法向量的求解、以及用向量表示各种几何关系（平行、垂直、夹角、距离）的公式。

练习题：

1. 在正方体（坐标系同上，棱长为1）中，求异面直线 AC 和 DB 所成角的余弦值。
2. 求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值。
3. 求二面角 B-AD-C 的余弦值。
4. 求点 C 到平面 ABD 的距离。
5. 对比传统几何法和向量法解决立体几何问题的优缺点。

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